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二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质—巩固练*(提高)

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二次函数 y=ax2(a≠0)与 y=ax2+c(a≠0)的图象与性质—巩固练*(提高)
【巩固练*】 一、选择题
1.若抛物线 y ? (2 ? m)xm2?10 的开口向下,则 m 的值为( ).

A.3

B.-3 C. 2 3

D. ?2 3

2.(2016?玉林)抛物线 y= ,y=x2,y=﹣x2 的共同性质是:

①都是开口向上; ②都以点(0,0)为顶点; ③都以 y 轴为对称轴; ④都关于 x 轴对称. 其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

3.如图所示正方形 ABCD 的边长为 10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形 ABCD 的顶点上,且 它们的各边与正方形 ABCD 各边*行或垂直.若小正方形的边长为 x,且 0<x≤10,阴影部分的面积为 y,则能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是( ).

4.(2015?市北区一模)在同一直角坐标系中,函数 y=kx2﹣k 和 y=kx+k(k≠0)的图象大致是( ).

A.

B.

C.

D.

5.在抛物线①y=2x2,② y ? 3 x2 ,③ y ? ? 7 x2 中.图象开口大小顺序为( ).

5

6

A.①>②>③ B.①>③>② C.②>①>③ D.②>③>①

6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在 l 处时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m,

水面宽 4 m.如图所示建立*面直角坐标系,则抛物线的解析式是( ).

A. y ? ?2x2

B. y ? 2x2

C. y ? ? 1 x2 2

D. y ? 1 x2 2

二、填空题

7.(2015?崇明县一模)抛物线 y=2x2﹣1 在 y 轴右侧的部分是

(填“上升”或“下降”).

8.(2016?普陀区一模)在函数①y=ax2+bx+c,②y=(x﹣1)2﹣x2,③y=5x2﹣ ,④y=﹣x2+2 中,y

关于 x 的二次函数是 .(填写序号)

9.已知(x1,y1),(x2,y2)是抛物线 y ? ax2 (a≠0)上的两点.当 x2 ? x1 ? 0 时, y2 ? y1 ,
则 a 的取值范围是________.

10.将抛物线 y ? ?x2 向下*移 2 个单位后,得到的抛物线的解析式是____

____.

11.如图所示,抛物线 y ? ax2 ? c(a ? 0) 交 x 轴于 G、F,交 y 轴于点 D,在 x 轴上方的抛物线上有
两点 B、E,它们关于 y 轴对称,点 G、B 在 y 轴左侧,BA⊥OG 于点 A,BC⊥OD 于点 C. 四边形 OABC 与四边形 ODEF 的面积分别为 6 和 10,则△ABG 与△BCD 的面积之和为________.

第 11 题

第 12 题

12.如图所示,二次函数

y

?

?

1 2

x2

?

c

的图象经过点

D

? ??

?

3,

9 2

? ??



x

轴交于

A、B

两点,

则 c 的值为



三、解答题 13.如图所示,桥拱是抛物线形,桥拱上有一点 P,其坐标为(2,-1),当水位在 AB 位置时,水面宽 12 米,
求水面离拱顶的高度 h.

14. 已知直线 y ? x ?1与 y 轴交于点 A,抛物线 y ? ?2x2 的顶点*移后与点 A 重合.

(1)求*移后的抛物线 C 的解析式;

(2)若点

B(

x1



y1

),C(

x2



y2

)在抛物线

C

上,且

?

1 2

?

x1

?

x2

<0,试比较

y1



y2

的大小.

15.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽 4 米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 米,水 面下降 1 米时,水面的宽度为多少米?


【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D;

【解析】依题意得 m2-10=2 且 2+m<0,即 m=± 2 3 ,且 m<-2,所以 m ? ?2 3 .

2.【答案】B. 【解析】抛物线 y=

,y=x2 的开口向上,y=﹣x2 的开口向下,①错误;

抛物线 y= ,y=x2,y=﹣x2 的顶点为(0,0),对称轴为 y 轴,②③正确;④错误;

故选:B. 3.【答案】D;
【解析】依题意知所有阴影部分面积的和恰好等于一个小正方形的面积,即 y=x2, 又 0<x≤10,画出 y=x2 的图象不难得到 D 答案.
4.【答案】D; 【解析】A、由一次函数 y=kx+k 的图象可得:k>0,此时二次函数 y=kx2﹣kx 的图象应该开口向上,错 误; B、由一次函数 y=kx+k 图象可知,k>0,此时二次函数 y=kx2﹣kx 的图象顶点应在 y 轴的负半 轴,错误; C、由一次函数 y=kx+k 可知,y 随 x 增大而减小时,直线与 y 轴交于负半轴,错误; D、正确.故选:D.
5.【答案】D;

【解析】 ∵ | 2 | ? ? 7 ? 3 ,∴ y ? 2x2 图象开口最小, y ? 3 x2 图象开口最大.

65

5

6.【答案】C;

【解析】依题意知点(2,-2)在 y=ax2 图象上,所以-2=a×22, a ? ? 1 .所以 y ? ? 1 x2 .

2

2

二、填空题

7.【答案】上升; 【解析】∵y=2x2﹣1,∴其对称轴为 y 轴,且开口向上,∴在 y 轴右侧,y 随 x 增大而增大,
∴其图象在 y 轴右侧部分是上升,故答案为:上升.
8.【答案】④. 【解析】①a=0 时 y=ax2+bx+c 是一次函数,
②y=(x﹣1)2﹣x2 是一次函数;

③y=5x2﹣ 不是整式,不是二次函数;

④y=﹣x2+2 是二次函数, 9.【答案】a<0 ;
【解析】∵ x2<x1<0,y2<y1,所以 y 随 x 的增大而增大,结合图象知,抛物线开口向下.
10.【答案】 y ? ?x2 ? 2 ;

【解析】根据上加下减. 11.【答案】4 ;

【解析】 由抛物线对称性知 S四边形ODBG ? S四边形ODEF .因此 S△ABG ? S△BCD ? 10 ? 6 ? 4 . 12.【答案】 c ? 6 .

【解析】∵

抛物线经过点

D

? ??

?

3,

9 2

? ??

,∴

? 1 ? (? 3)2 ? c ? 9 .

2

2

∴ c?6.
三、解答题

13.【答案与解析】

依题意设抛物线为 y=ax2,将 x=2,y=-1 代入得 a ? ? 1 ,∴ y ? ? 1 x2 ,

4

4

根据题意,AB=12,由抛物线的对称性知 B(6,-h).将 x=6,y=-h 代入 y ? ? 1 x2 ,得 h=9. 4

答:水面离拱顶的高度为 9 米.

14.【答案与解析】

(1)∵ y ? x ?1,

∴ 令 x=0,则 y=1,

∴A(0,1),即抛物线 C 的顶点坐标为(0,1) ,又抛物线 C 是由抛物线 y=-2x2 *移得到的,

∴ 抛物线 C 的解析式为 y=-2x2+1.

(2)由(1)知,抛物线 C 的对称轴为直线 x=0.∵ a ? ?2 ? 0,





x<0

时,y



x

的增大而增大,又

?

1 2

?

x1

?

x2

<0,∴

y1<y2.

15.【答案与解析】

解:建立*面直角坐标系,设横轴 x 通过 AB,纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点,则通过画图可得知

O 为原点,

抛物线以 y 轴为对称轴,且经过 A,B 两点,OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米,抛物线顶点 C 坐标为

(0,2),

通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2,其中 a 可通过代入 A 点坐标(﹣2,0),

到抛物线解析式得出:a=﹣0.5,所以抛物线解析式为 y=﹣0.5x2+2,

当水面下降 1 米,通过抛物线在图上的观察可转化为:

当 y=﹣1 时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线 y=﹣1 与抛物线相交的两点之间的距离,

可以通过把 y=﹣1 代入抛物线解析式得出:

﹣1=﹣0.5x2+2,

解得:x=



所以水面宽度增加到 米,

故答案为: .




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