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弹性力学课件-第三章*面问题的直角坐标

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第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 例题

逆解法与半逆解法 多项式解答 矩形梁的纯弯曲 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力

第三章 *面问题的直角坐标解答



Φ 求解

§3-1 逆解法和半逆解法 - 多项式解法
当体力为常量, 1. 当体力为常量,按应力函数 Φ 求解*面 应力问题时, 应力问题时,Φ 应满足 ⑴ A内相容方程 ? Φ = 0.
4

(a)

⑵ S = Sσ 上应力边界条件,

( lσ

x

+ mτ yx ) = f x ,
s

( mσ

y

+ lτ xy ) = f y .
s

(b)

⑶ 多连体中的位移单值条件。

(c)

第三章 *面问题的直角坐标解答

对于单连体,(c)通常是自然满 足的。只须满足(a),(b)。 由 Φ 求应力的公式是
σ x = ? Φ ? f x x, 2 ?y
2

? 2Φ ? f y, σy = 2 y ?x
? 2Φ . τ xy = ? ?x?y

(d)

第三章 *面问题的直角坐标解答

逆解法

2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。 逆解法 步骤: ⑴ 先找出满足 ? 4Φ = 0的解Φ; ⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , τ xy ; ⑶ 在给定边界形状S下,由式(b)反推出 各边界上的面力,

f x =(lσ x + mτ xy ) s , f y =(mσ y +lτ xy ) s .

(e)

第三章 *面问题的直角坐标解答

逆解法

从而得出,在面力(e)作用下的 解答,就是上述 Φ 和应力。 逆解法没有针对性,但可以积累 基本解答。

第三章 *面问题的直角坐标解答

逆解法

例1 一次式Φ = ax + by + c 对应于无体力, 无面力,无应力状态。故应力函数加减 一次式,不影响应力。
Φ = ax 2 + bxy + cy 2 例2 二次式 ,分别表示常量

的应力和边界面力。如图示。
2a b

o
2a

x
b

b

o
y
b

x
2c

o
y
2c

x

y

第三章 *面问题的直角坐标解答

逆解法

例3 设图中所示的矩形长梁,l >>h,试考
F 察应力函数 Φ = 3 xy (3h 2 ? 4 y 2 )能解决什么 2h

样的受力问题?
h/2 h/2

o

x ( l >>h)

y

l

第三章 *面问题的直角坐标解答

解:按逆解法。 1. 将 Φ 代入相容方程,可见 ? 4Φ = 0 是 满足的。 有可能成为该问题的解。 Φ 2. 由 Φ 求出应力分量
? 2Φ = ?12 Fxy , σx = 2 ?y h3 ? 2Φ =0, σy = 2 ?x y2 τ xy = ? ? Φ = ? 3F (1? 4 2 ). ?x?y 2h h
2

第三章 *面问题的直角坐标解答

3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。 在主要边界(大边界)y = ± h / 2上,

σ y = 0, τ yx = 0.
因此,在 y = ± h / 2 的边界面上,无任何 面力作用,即 f x = f y = 0.

第三章 *面问题的直角坐标解答

在x = 0,l的次要边界(小边界)上,
x = 0(负x面), f x = ?(σ x ) x =0 = 0, 3F y2 f y = ?(τ xy ) x =0 = (1 ? 4 2 ); 2h h 12 Fl f x = (σ x ) x =l = ? 3 y , h 3F y2 (1 ? 4 2 ). f y = (τ xy ) x =l = ? 2h h

x = l (正x面),

第三章 *面问题的直角坐标解答

在x = 0,l 小边界上的面力 f x , f y 如下图 中(a) 所示,而其主矢量和主矩如(b)所示。 由此,可得出结论:上述应力函数可以 解决悬臂梁在 x = 0 处受集中力F作用的问 题。

第三章 *面问题的直角坐标解答

(a)

F

F
M (b)

第三章 *面问题的直角坐标解答

半逆解法

3.半逆解法 半逆解法 步骤: ⑴ 假设应力的函数形式 (根据受力情 况、边界条件等,或采用量纲分析法); ⑵ 由应力(d)式,推测 Φ 的函数形式; ⑶ 代入 ? 4Φ = 0,解出 Φ (系数法);

第三章 *面问题的直角坐标解答

半逆解法

⑷ 由式(d),求出应力; ⑸ 校核全部应力边界条件(对于多连体, 还须满足位移单值条件)。 如能满足,则为正确解答;否则修改假 设,重新求解。

第三章 *面问题的直角坐标解答

半逆解法

思考题 1. 在单连体中,应力函数必须满足哪些条 件?逆解法和半逆解法是如何满足这些条 件的? 2. 试比较逆解法和半逆解法的区别。

第三章 *面问题的直角坐标解答

问题提出

§3-2 矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1,无体力,只受M作用(力矩/ 单宽,与力的量纲相同)。本题属于纯弯曲 问题。 o
M

h/2 h/2
M

x ( l >>h)

y

l

第三章 *面问题的直角坐标解答

? 4Φ = 0

本题是*面应力问题,且为单连体, 若按 Φ 求解, 应满足相容方程及 s = sσ Φ 上的应力边界条件。 求解步骤: ⑴ 由逆解法得出,可取Φ = ay 3,且满足
? Φ =0.
4

⑵ 求应力
σ x = 6ay,

σ y =τ xy =0.

(a)

第三章 *面问题的直角坐标解答

边界条件

⑶ 检验应力边界条件,原则是: a.先校核主要边界 先校核主要边界(大边界),必须 先校核主要边界 精确满足应力边界条件。 b.后校核次要边界 后校核次要边界(小边界),若不 后校核次要边界 能精确满足应力边界条件,则应用圣维南 原理,用积分的应力边界条件代替。

第三章 *面问题的直角坐标解答

主要边界

主要边界 y = ± h/ 2,
(σ y ) y=± h/2 =0,
(τ xy ) y =± h / 2 = 0 . (b)

从式(a)可见,边界条件(b)均满足。 次要边界 x=0, l,
(τ xy ) x=0,l =0,

满足。

(c)

σ x 的边界条件无法精确满足。

第三章 *面问题的直角坐标解答

次要边界

用两个积分的条件代替

? ∫? h / 2 ? ? ? ? h/2 ? ∫? h / 2 (σ x ) x=0,l y ? d y ?1 = M。 ?
h/2

(σ x ) x = 0,l d y ?1 = 0,

(d)

第三章 *面问题的直角坐标解答

式(d)的第一式自然满足,由第二式得出
a= 2M / h 。
3

σ x =12M y = M y, 最终得应力解 I h3

σ y =τ xy =0. (e)

当 l >> h 时,即使在 x = 0, l 边界上面力 不同于σ x的分布,其误差仅影响梁的两端 部分上的应力。

第三章 *面问题的直角坐标解答

思考题
如果区域内的*衡微分方程已经满足,且 除了最后一个小边界外,其余的应力边界条件 也都分别满足。则我们可以推论出,最后一个 小边界上的三个积分的应力边界条件(即主矢 量、主矩的条件)必然是满足的,因此可以不 必进行校核(如支座截面)。

第三章 *面问题的直角坐标解答

问题提出

§3-3 位移分量的求出
在按应力求解中,若已得出应力, 在按应力求解中,若已得出应力,如何 求出位移? 求出位移? 以纯弯曲问题为例,已知
σ x = M y, I

σ y =τ xy =0,

试求解其位移。

第三章 *面问题的直角坐标解答

求形变

1. 由物理方程求形变

M 1 ? ε x = (σ x ? ?σ y ) = y, ? E EI ? ?M ? 1 ε y = (σ y ? ?σ x ) = ? y ,? E EI ? 2(1 + ? ) ? γ xy = ε xy = 0。 ? E ?

第三章 *面问题的直角坐标解答

求位移

2. 代入几何方程求位移

?u M = εx = y, ?x EI ?v ?M = εy = ? y, ?y EI ?v ?u + = γ xy = 0。 ?x ?y

(a) (b) (c )

第三章 *面问题的直角坐标解答

求位移

⑴ 对式(a)两边乘 d x 积分,
M u = xy + f1 ( y ), EI

⑵ 对式(b)两边乘 d y 积分 ,
v=?

?M
2 EI

y 2 + f 2 ( x )。

第三章 *面问题的直角坐标解答

求位移

⑶ 再代入(c) , 并分开变量,

d f1 ( y ) Mx d f 2 ( x) + =? ( = ω )。 EI dx dy
上式对任意的 x , y 都必须成立,故 两边都必须为同一常量ω 。

第三章 *面问题的直角坐标解答 求位移

由此解出 f1 ( y ) = ?ω y + u0 ,
M f 2 ( x) = ? x 2 + ω x + v0 . 2 EI

得出位移为
M ? u= xy ? ω y + u0 , ? ? EI ? ?M 2 M ? v=? y ? x 2 + ω x + v0。 ? ? 2 EI 2 EI

3.待定的刚体位移分量 u0 ,v0 , . ω 须由边界约束条件来确定。

第三章 *面问题的直角坐标解答

归纳:从应力求位移步骤: 从应力求位移步骤: 从应力求位移步骤 1. 由物理方程求出形变; 2.代入几何方程,积分求 u, v (3个方程的 用途); 3.由边界约束条件确定刚体位移分量 u0 , v0 , ω 。

第三章 *面问题的直角坐标解答

纯弯曲问题的讨论:
1. 弯应力 σ x 与材料力学的解相同。
?u M 2. 铅直线的转角(P16) β = = x ? ω , ?y EI

故在任

一截面x 处,*面截面假设成立。 3.纵向纤维的曲率
? 2v M =? = ρ ?x 2 EI 1

同材料力学的结

果。故在纯弯曲情况下,弹性力学解与材料力 学解相同。

第三章 *面问题的直角坐标解答

思考题
试证明刚体位移 u0 , v0 , ω 实际上表示弹性体中 原点(坐标x=y=0)的*移和转动分量,并应用本节 的解答加以验证。 提示:微分体的转动分量为 w = 1 ? ?v ? ?u ?。 ? ?
2 ? ?x ?y ?

第三章 *面问题的直角坐标解答

问题

§3-4 简支梁受均布荷载

简支梁 2l × h × 1,受均布荷载 q 及两端支撑反 力ql 。

q
ql

o

h/2 h/2

x
ql

l

y

l

第三章 *面问题的直角坐标解答

半逆解法

按半逆解法 半逆解法求解。 半逆解法 ⑴ 假设应力分量。由材料力学 σ x ∝ M , τ ∝ Fs , σ y ∝ q, 因为
1 σ x ∝ M = q(l + x) ? q(l + x) 2 , 2
2

所以,可假设 σ x = x f1 ( y ) + xf 2 ( y ) + f3 ( y ); 因为

τ xy ∝ Fs = ?ql + q(l + x),
σ y ∝ q = 常数,

所以,可假设 τ xy = xf1 ( y ) + f 2 ( y ); 因为 所以,可假设 σ y = f ( y )。 现采用此假设。

第三章 *面问题的直角坐标解答

半逆解法

⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。 由 对 x 积分,
? 2Φ =σ = f ( y ), y ?x 2
?Φ = xf ( y ) + f1 ( y ), ?x

x2 Φ f ( y ) + xf1 ( y ) + f 2 ( y ). (a) 对x再积分, = 2

第三章 *面问题的直角坐标解答

半逆解法

⑶ 将 Φ 代入相容方程,求解 Φ :
d 4 f 2 ( y) d 2 f ( y) d 4 f ( y ) 2 d 4 f1 ( y ) 1 x + x+( +2 ) = 0. 4 4 4 2 2 dy dy dy dy

相容方程对于任何 x, y 均应满足,故 x 2 , x1 , x 0 的系数均应等于0,由此得三个常微分方程。

第三章 *面问题的直角坐标解答

半逆解法

解出:
? f = Ay + By + cy + D, ? ? 3 2 f1 = Ey + Fy +Gy , ? A y 5 ? B y 4 + Hy 3 + Ky 2 .? f 2 =? ? 10 6 ?
3 2

(b)

式(b)中已略去对于Φ 的一次式。 将式(b)代入式(a),即得 Φ。

第三章 *面问题的直角坐标解答 半逆解法

⑷ 由 Φ 求应力。 在无体力下,应力公式如书中式( f ), (g),(h)所示。 对称性条件─由于结构和荷载对称于

τ y轴,故 Φ, σ x , σ y 应为 x 的偶函数, xy 为 x的奇函数,故 E = F = G = 0 。

第三章 *面问题的直角坐标解答

主要边界

⑸ 考察边界条件。 主要边界
y = ± h / 2 = 0,

(σ y ) y=h/ 2 = 0, ( σ y ) y =? h / 2 = ? q , ( τ xy ) y=± h/ 2 = 0.
由此解出系数A , B , C , D 。

第三章 *面问题的直角坐标解答

次要边界

次要边界 x = l , 应用圣维南原理,列出三个积分条件,
h/2

∫ ∫ ∫

?h / 2 h/2

(σ x ) x =l dy ?1 = 0, (σ x ) x =l dy ?1 ? y = 0, (τ xy ) x =l dy ?1 = ? ql。

?h / 2 h/2 ?h / 2

由此解出H,K. 另一次要边界(x= -l )的条件,自然满足。

第三章 *面问题的直角坐标解答

应力

最后应力解答:
6q 2 y y2 3 σ x = 3 (l ? x 2 ) y + q ( 4 2 ? ) h h h 5
y y2 3 = M y + q ( 4 2 ? ), 5 I h h

FS S 6q h 2 2 τ xy = ? 3 x( ? y ) = , 4 bI h
q y 2y 2 σ y = ? (1? )(1? ) . 2 h h

第三章 *面问题的直角坐标解答 应力的量级

应力的量级 当 l >> h 时, x ~l 同阶, y ~ h 同阶.

σx

l 2 第一项 ~ q( ) 同阶,(与材料力学解同); h

第二项 ~ q 同阶, (弹性力学的修正项)
l ~ q( ) 同阶, h

τ xy

(与材料力学解同) (材料力学中不计)

σ y ~ q 同阶,

第三章 *面问题的直角坐标解答 应力比较

应力与材料力学解比较: 应力与材料力学解比较
l 2 l 最主要量级 q( ) , 和次要量级 q ,在材料 h h

力学中均已反映,且与弹性力学相同。 最小量级 ~ q , 在材料力学中没有。
y y2 3 σ x 中的弹性力学修正项:q (4 2 ? ), h h 5 M y 的1/15 ( 6 %) , 当 l = h 时, 仅占主项 I 当 l >> h 时, q 量级的值很小,可以不计。

第三章 *面问题的直角坐标解答 应力比较

弹性力学与材料力学的解法比较: 弹性力学与材料力学的解法比较: 弹性力学严格考虑并满足了A内的*衡 微分方程 ,几何方程和物理方程,以及S上的 所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附*的局部区域)。 材料力学在许多方面都作了*似处理, 所以得出的是**獯稹

第三章 *面问题的直角坐标解答

例如: 几何条件中引用*截面假定-- u , ε , σ x 沿 y 为直线分布; *衡条件中没有考虑微分体的*衡,只 考虑 h ? d x ? b 的内力*衡; 边界条件也没有严格考虑; 材料力学解往往不满足相容条件。

第三章 *面问题的直角坐标解答

对于杆件,材料力学解法及解答具有 足够的精度;

对于非杆件,不能用材料力学解法求 解,应采用弹性力学解法求解。

第三章 *面问题的直角坐标解答

思考题 试说明从弹性力学得出的解答(3-6)不 符合*面截面假设。 (P45)

第三章 *面问题的直角坐标解答

§3-5 楔形体受重力及液体压力
o x
α

设有楔形体, 左面垂直,顶角为α, 下端无限长,受重 力及齐顶液体压力。

n
π +α

α

ρ2 g

ρ1 g

2

fx = 0,

f y = ρ1 g.

y

第三章 *面问题的直角坐标解答

用半逆解法 半逆解法求解。 半逆解法 (1)用量纲分析法假设应力: 因为应力 ∝ ρ1 g, ρ 2 g , 而应力的量纲只比

ρ1 g, ρ 2 g

高一次(L),

所以应力 = ( ρ1 g, ρ2 g ) × (x , y 一次式), 即可假设应力为x , y 的一次式。

第三章 *面问题的直角坐标解答

(2)由应力~ Φ 关系式, 应为x,y的三次式, Φ

Φ = ax +bx y + cxy + dy .
3 2 2 3

(3) Φ 满足相容方程 (4)由Φ 求应力,
2

? Φ =0.
4

σ x = ? Φ ? f x x = 2cx + 6dy, ?y 2

? 2Φ ? f y = 6ax + 2by ? ρ gy, σy = 2 y 1 ?x ? 2Φ = ?2bx ? 2cy. τ xy = ? ?x?y

第三章 *面问题的直角坐标解答

(5)考察边界条件--本题只有两个大边 大边 界,均应严格满足应力边界条件。 x=0 铅直面,

(σ x ) x =0 = ? ρ 2 gy, 解出 d = 6 ;
(τ xy ) x =0 = 0,
解出 c = 0.

ρ2 g

(a)

第三章 *面问题的直角坐标解答

x = y tan α

斜边界上,

须按一般的应力边界条件来表示,有

(lσ x + mτ yx ) x= ytanα =0,
(mσ y +lτ xy ) x= ytanα =0.

(b)

第三章 *面问题的直角坐标解答 应力

其中

l =cos(n, x) =cosα ,
m = cos(n, y ) = ? sin α .

由式(b)解出a、b,最后的应力解答,
? ? 3 σ y = ( ρ1 g cot α ? 2ρ 2 g cot α ) x ? ? 2 + ( ρ 2 g cot α ? ρ1 g ) y, ? ? 2 τ xy = ? ρ2 gx cot α. ? ? σ x = ? ρ 2 gy,

(c)

第三章 *面问题的直角坐标解答

水*截面上的应力分布如图所示。

σx

σy

τ yx

第三章 *面问题的直角坐标解答

楔形体解答的应用:
作为重力坝的参考解答(解答不精确): 分缝重力坝接**面应力问题; 在坝体中部的应力,接*楔形体的解答。 重力坝的精确分析,可按有限单元法进行。

第三章 *面问题的直角坐标解答

例题1 例题2 例题3 例题4

例题5 例题6 例题7 例题8

第三章 *面问题的直角坐标解答

例题1 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力 和力矩的作用,体力可以不计, >> h 图3-5, 3-5 l 试用应力函数 Φ = Axy + By 2 + Cy 3 + Dxy 3 求解 应力分量。

第三章 *面问题的直角坐标解答

Fs
M

o
σx
τ xy

h/2
y dy

FN

h/2

x

图3-5 l y

(l >> h, δ = 1)

第三章 *面问题的直角坐标解答

解: 本题是较典型的例题,已经给出了应 力函数 Φ ,可按下列步骤求解。 1. 将 Φ 代入相容方程,显然是满足的。 2. 将 Φ代入式(2-24),求出应力分量。

σ x = 2 B + 6Cy + 6 Dxy , σ y = 0,

τ xy = ?( A + 3Dy )。
2

第三章 *面问题的直角坐标解答

3. 考察边界条件: 主要边界 y = ± h / 2 上应精确满足式(2-15),

(σ y ) y =± h / 2 = 0, (τ xy ) y =± h / 2 = 0,

满足; 3 2 得 A + Dh = 0 . 4 (a)

第三章 *面问题的直角坐标解答

在次要边界x=0上,只给出了面力的主矢 量和主矩,应用圣维南原理,用三个积分的 边界条件代替。注意x=0是负x面,图3-5中表 示了负x面上的σ x 和 τ xy 的正方向,由此得:

第三章 *面问题的直角坐标解答




h/2

?h / 2

(σ x ) x =0 d y = ? FN ,

FN 得 B=? ; 2h

h/2

?h/2

(σx )x=0 yd y =?M,

2M 得 C =? 3 ; h



h/2

?h/2

(τxY )x=0 d y =?Fs ,

1 3 得 Ah + Dh = Fs . (b) 4

第三章 *面问题的直角坐标解答

由(a),(b) 解出
3Fs A= , 2h 2 Fs D=? 3 . h

最后一个次要边界条件(x=l上),在* 衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件 下,是必然满足的,故不必再校核。

第三章 *面问题的直角坐标解答

代入应力公式,得
FN 12 M 12 Fs =? ? 3 y ? 3 xy, h h h = 0, 3Fs y2 =? (1 ? 4 2 ). 2h h

σx σy

τ xy

第三章 *面问题的直角坐标解答

例题2 挡水墙的密 度为 ρ1 ,厚度 为b,图示,水的密 度为 ρ 2 ,试求 应力分量。

y
b 2

o
b 2

ρ2 g
ρ1 g
x

第三章 *面问题的直角坐标解答

解:用半逆解法 半逆解法求解。 半逆解法 1. 假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上,σ y = 0; y=b/2 边界 上, σ y = ? ρ 2 gx ,所以可假设在区域内 σ y 沿x 向 也是一次式变化,即

σ y = xf ( y )。

第三章 *面问题的直角坐标解答

2. 按应力函数的形式,由σ y推测Φ 的形式, 所以
? 2Φ σy = = xf ( y ), 2 ?x ?Φ x2 = f ( y ) + f1 (y ) , ? x 2 x3 Φ= f ( y ) + xf1 (y ) + f 2 (y ). 6

第三章 *面问题的直角坐标解答

3. 由相容方程求应力函数。代入 ? Φ = 0, 得
4

d 4 f1 d 4 f 2 d4 f d2 f x +x + + 2 x 2 = 0. 4 4 4 6 dy dy dy dy
3

要使上式在任意的x处都成立,必须

第三章 *面问题的直角坐标解答

d4 f =0 , 4 dy

得 f = Ay 3 + By 2 + Cy + D;

d 4 f1 d2 f A 5 B 4 + 2 2 = 0, 得 f1 = ? y ? y + Gy 3 + Hy 2 + Iy; d y4 dy 10 6 d4 f2 = 0, 4 dy 得 f 2 = Ey + Fy .
3 2

代入 Φ,即得应力函数的解答,其中已 略去了与应力无关的一次式。

第三章 *面问题的直角坐标解答

4. 由应力函数求解应力分量。将Φ 代入式(224) ,注意 f x = ρ1 g , f y = 0 , 体力求得应力分量为
? 2Φ B 3 σ x = 2 ? xf x = x ( Ay + ?y 3 + x( ? 2 Ay 3 ? 2 By 2 + 6Gy + 2 H ) + (6 Ey + 2 F ) ? ρ1 gx,

? 2Φ σ y = 2 ? yf y = x( Ay 3 + By 2 + Cy + D), ?x
τ xy ? 2Φ = ? ?x?y x2 = ? (3 A y 2 + 2 B y + C ) 2 2B 3 A 4 + ( y + y ? 3G y 2 ? 2 H y ? I ). 2 3

第三章 *面问题的直角坐标解答

5. 考察边界条件: 主要边界 y = ±b / 2上,有
(σ y ) y = b / 2
b3 b2 = ? ρ2 gx,得 x( A + B + C b + D) = ?ρ2 gx; 8 4 2
b3 b2 b = 0, 得 x ( ? A + B ? C + D ) = 0 ; 8 4 2

(a)

(σ y ) y =?b / 2

(b)

(τ xy ) y = ± b / 2 = 0, 得
x2 3b2 ? (A ± Bb + C) 2 4 b4 b3 3b2 + (A ± B ?G m Hb ? I ) = 0. 32 12 4

第三章 *面问题的直角坐标解答

由上式得到
3b 2 A ± Bb + C = 0 4
b4 b3 3b 2 A ±B ?G m Hb ? I = 0 32 12 4

(c,d)

(e,f )

第三章 *面问题的直角坐标解答

求解各系数,由
(a)+(b)


(a)-(b)
(c)-(d)



b2 1 B + D = ? ρ2 g , 4 2 b3 b 1 A + C = ? ρ2 g , 8 2 2



(c)+(d)



b b 1 A + C = ? ρ2 g , 8 2 2 3b 2 A + C = 0。 4

3

第三章 *面问题的直角坐标解答

由此得
2 A = 3 ρ2 g , b 3 C=? ρ2 g. 2b

又有
( e) ? ( f ) 得 ( e) + ( f ) 得 H =0, b 4 ?G 3b 2 ? I =0 . A 32 4

代入A,得
b 3b 2 I = ρ2 g ? G. 16 4 (g)

第三章 *面问题的直角坐标解答

在次要边界 次要边界(小边界)x=0上,列出三 次要边界 个积分的边界条件:

∫ ∫ ∫

b/2

?b / 2 b/2

(σ x ) x =0 d y = 0, (σ x ) x =0 y d y = 0, (τ xy ) x =0 d y = 0,

得 F =0 ; 得 E=0 ; b b2 得 I = ρ2 g ? G . 80 4
G = 1 ρ2 g . 10b

?b / 2 b/2

?b / 2

(h)

由式(g),(h)解出
I =? b ρ2 g , 80

第三章 *面问题的直角坐标解答

代入应力分量的表达式得最后的应力解答:
2 ρ 2 g 3 3ρ 2 g 4ρ2 g 3 σx = 3 x y + xy ? 3 xy ? ρ1 gx, b 5b b y3 2 y 1 σ y = ρ 2 gx(2 3 ? ? ); b 3b 2 2 3 y 3 y 3y b 2 τ xy = ? ρ 2 gx (3 3 ? ) ? ρ 2 gy (? 3 + ? )。 b 4b b 10b 80 y

第三章 *面问题的直角坐标解答

例题3 已知
(a ) Φ = Ay (a ? x ) + Bxy + C ( x + y );
2 2 2 2 2

(b) Φ = Ax 4 + Bx 3 y + Cx 2 y 2 + Dxy 2 + Ey 4 ,

试问它们能否作为*面问题的应力函数?

第三章 *面问题的直角坐标解答

解: 作为应力函数,必须首先满足相容方程,
? 4Φ =0.

将 Φ 代入, (a) 其中A= 0,才可能成为应力函数; (b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函 数。

第三章 *面问题的直角坐标解答

例题4 图中所示的矩形截面柱体,在顶部受有集中 力F和力矩 M = Fb 的作用,试用应力函数
2

Φ = Ax 3 + Bx 2 ,
求解图示问题的应力及位移,设在A点的 位移和转角均为零。

第三章 *面问题的直角坐标解答

F Fb/2 O b b

x
h

A y
(h >> b, δ = 1)

第三章 *面问题的直角坐标解答

解: 应用应力函数求解:
? 4Φ = 0 ,满足. (1) 校核 相容方程

(2) 求应力分量 ,在无体力时,得

σ y =6 Ax + 2 B,
(3) 考察主要边界条件 主要边界条件, 主要边界条件
x = ±b , σ x = 0,

σ x =τ xy =0.
τ xy = 0 ,

均已满足

第三章 *面问题的直角坐标解答

考察次要边界条件 次要边界条件,在y=0上, 次要边界条件

(τ xy ) y =0 = 0,

满足。 得 得
F B=? ; 2b
F A=? 。 2 8b



b

?b
b

(σ y ) y = 0 d x = ? F ,

Fb ∫?b (σ y ) y =0 x d x = ? 2 ,

第三章 *面问题的直角坐标解答

代入,得应力的解答,
σ y = ? F (1+ 3 x ), 2b 2b σ x =τ xy = 0.

上述应力已满足了 ? 4Φ = 0 和全部边界条 件,因而是上述问题的解。

第三章 *面问题的直角坐标解答

(4) 求应变分量,

3x εx = (1 + ), 2 Eb 2b F 3x εy = ? (1 + ), 2 Eb 2b γ xy = 0。

?F

第三章 *面问题的直角坐标解答

(5) 求位移分量,
?u ?F 3x 由 = εx = (1 + ), ?x 2 Eb 2b
3x 2 u= (x + ) + f1 ( y ); 2 Eb 4b

对x积分得

?F

?v F 3x 由 = εy = ? (1 + ), ?y 2 Eb 2b

对y积分得

F 3 xy v=? (y + ) + f 2 ( x ). 2 Eb 2b

第三章 *面问题的直角坐标解答

将u,v代入几何方程的第三式,
?v ?u + = γ xy = 0。 ?x ?y

两边分离变量,并全都等于ω 常数,即
d f 2 ( x) d f1 ( y ) 3F =? + y = ω, 2 dx dy 4 Eb

第三章 *面问题的直角坐标解答

从上式分别积分,求出
f 2 ( x ) = ω x + v0 ,
3F f1 ( y ) = y 2 ? ω y + u0。 8Eb 8 Eb 2

代入u,v, 得
? 3x 2 3F 2 u= (x + )+ y ? ω y + u0 , ? 2 ? 2 Eb 4b 8 Eb ? F 3 xy ? v=? (y + ) + ω x + v0 . ? 2 Eb 2b ?

?F

第三章 *面问题的直角坐标解答

再由刚体约束条件,
?u ( ) x = 0, y = h = 0, 得 ?y
3F ω= h; 2 4 Eb

(u ) x =0, y = h = 0,
(v) x =0, y = h = 0,



u

0

3F 3F = h; 2 8 Eb



F v0 = h. 2 Eb

第三章 *面问题的直角坐标解答

代入u,v,得到位移分量的解答
3x 2 3F 2 ? (x + )+ (h ? y ) , u= ? 2 ? 2 Eb 4b 8 Eb ? F 3x ? v= ( h ? y )(1 + )。 ? 2 Eb 2b ?

?F

在顶点x=y=0,
(v ) x = y = 0 Fh = . 2 Eb

第三章 *面问题的直角坐标解答

例题5 图中矩形截面的简支梁上,作用有三 角形分布荷载。试用下列应力函数
Φ = Ax y + Bxy + Cx y +
3 3 5 3

Dxy 3 + Ex 3 + Fxy ,

求解应力分量。

第三章 *面问题的直角坐标解答

x q l

ql 6

h/2

ql 3

o
l

h/2
(h >> l , δ = 1)

x

y

第三章 *面问题的直角坐标解答

解:应用上述应力函数求解: (1) 将Φ代入相容方程,
5 ? Φ = 0, 72 A + 120 B = 0, 得A = ? B。 3
4

由此,
5 3 3 Φ = ? Bx y + Bxy 5 + Cx 3 y + Dxy 3 + Ex 3 + Fxy。 3

第三章 *面问题的直角坐标解答

(2) 代入应力公式,在无体力下,得
σ x = ?10 Bx y + 20 Bxy + 6 Dxy,
3 3

σ y = ?10 Bxy + 6Cxy + 6 Ex,
3

τ xy = ?(?15Bx 2 y 2 + 5 By 4 + 3Cx 2 + 3Dy 2 + F )。

(3) 考察主要边界条件 ( y = ± h / 2), 主要边界条件
y = ± h / 2, τ xy = 0, 得
15 2 5 3 2 4 x (3C ? Bh ) + ( Bh + Dh + F ) = 0。 4 16 4
2

第三章 *面问题的直角坐标解答

对于任意的x值,上式均满足,由此得
15 3C ? Bh 2 = 0, 4
5 3 4 Bh + Dh 2 + F = 0。 16 4

(a) (b) (c)

5 y = h / 2, σ y = 0, x( ? Bh 3 + 3Ch + 6 E ) = 0, 4

y = ? h / 2,σ y = ? q x , x ( 5 Bh 3 ?3Ch + 6 E ) = ? q x . (d) l 4 l

第三章 *面问题的直角坐标解答

由(3)+(4)得
q E=? 。 12l

由(3)-(4)得
5 q 2 ? Bh + 3C = 。 4 2lh

(e)

由(5)-(1)得
q B= , 3 5lh q C= 。 4lh

第三章 *面问题的直角坐标解答

(4) 考察小边界 小边界上的边界条件(x=0),由 小边界
ql ∫?h/2(τ xy ) x=0 d y = 6 ,
h/ 2


h5 h3 ql B +D + Fh = ? . 16 4 6

(f)

由式(2)和(6)解出
D = q ( l 3 ? 1 ), 3h 10lh F = q ( h ? l ). 80l 4h

第三章 *面问题的直角坐标解答

另两个积分的边界条件,

∫ ∫

h/ 2

?h / 2 h/ 2

(σ x ) x=0 d y = 0, (σ x ) x=0 yd y = 0.

?h / 2

显然是满足的。

第三章 *面问题的直角坐标解答

于是将各系数代入应力表达式,得最后的 应力解答。
? xy l 2 ? x 2 y2 3 σ x = 2q ( + 2 2 ? ), ? 2 lh h h 10 ? x y2 y3 ? σ y = ? q (1 ? 3 2 + 4 3 ), ? 2l h h ? q y2 l x2 h y2 ? τ xy = (1 ? 4 2 )( ? 3 ? + ).? 4 h h lh 20l lh ?

第三章 *面问题的直角坐标解答

读者试校核在x=l的小边界上,下列条 件是满足的,

∫ ∫

h/ 2

?h / 2 h/ 2

(σ x ) x=l d y = 0, (σ x ) x=l yd y = 0,

?h / 2 h/ 2

ql ∫?h/2(τ xy ) x=l d y = ? 3 .

第三章 *面问题的直角坐标解答

例题6 矩形截面的柱体受到 顶部的集中力 2 F 和 力矩M的作用,不计 体力,试用应力函数 y

M

2F

o
b/2

45o

b/2

h q
3

q

Φ = Ay + Bxy + Cxy + Dy
2 3

求解其应力分量。
(h >> b, δ = 1)

x

第三章 *面问题的直角坐标解答

解:应用上述应力函数求解: (1) 代入相容方程, ? 4Φ = 0, 满足。 (2) 求应力分量,在无体力下,
σ x = A + 6Cxy + 6 Dy , σ y = 0,

τ xy = ?( B + 3Cy 2 )。

第三章 *面问题的直角坐标解答

(3)考察边界条件,在主要边界 ( y = ±b / 2), 主要边界
y = ±b / 2, σ y = 0, 满足; 3 2 B + Cb = q. 4 (a)

τ xy = ?q,
在小边界 x= 0) 小边界( 小边界



h/ 2

?h / 2

(σ x ) x=0 d y = ? F, ( Ay + 3Dy )
2

= ? F ,得A = ? F . -b/2 b
b/2

第三章 *面问题的直角坐标解答



h/2

?h / 2

(σ x ) x =0 y d y = ? M ,
b/2 -b/2

y2 (A + 2 Dy 3 ) 2

2M = ? M , 得D = ? 3 ; b



h/2

?h / 2

(τ xy ) x =0 d y = ? F,
3 b/2 -b/2

? ( By + Cy )

1 2 F = ? F,得B + Cb = 。 (b) 4 b

第三章 *面问题的直角坐标解答

再由(a),(b)式解出
C = 2 ( q ? F ), b b2 B = ? 1 ( q ? 3F ). 2 b

代入,得应力解答,
F 12 F 12 M ? σ x = ? + 2 ( q ? ) xy ? 3 y,? b b b b ? ? σ y = 0, ? ? 1 3F 6 F 2 ? τ xy = (q ? ) ? 2 (q ? ) y 。 ? 2 b b b ?

第三章 *面问题的直角坐标解答

例题7
q y 2 2 试用应力函数 Φ = ? [( x + y )arctan ? xy], 2π x 求解图中所示的半无限*面体在 x ≤ 0

的边界上受均布压力q的问题。

第三章 *面问题的直角坐标解答

o
ρ
φ

x

y

第三章 *面问题的直角坐标解答

解:应校核相容方程和边界条件,若这些 量均满足,则可以求出其应力分量。 本题得出的应力解答是
? y xy σ x = ? (arctan + 2 ),? 2 π x x +y ? ? q y xy ? σ y = ? (arctan ? 2 ),? 2 π x x +y ? ? q y2 。 τ xy = ? ? 2 2 ? π x +y ? q

第三章 *面问题的直角坐标解答

例题8 试用应力函数
q 1 y 2 2 2 Φ = [ ln( x + y ) + xyarctan ? y ], π 2 x

求解图中所示的半*面体在 x ≤ 0 的边界上 受均布切力q的问题。

第三章 *面问题的直角坐标解答

q

o
ρ
φ

x

y

第三章 *面问题的直角坐标解答

解:应校核相容方程和边界条件,若这些 量均满足,则可以求出其应力分量。 本题得出的应力解答是
? y2 2 2 σ x = ? (2ln x + y + 2 ),? 2 π x +y ? 2 ? q y σy = ? , ? 2 2 π x +y ? ? q y xy τ xy = ? (arctan + 2 。 ? 2 π x x +y ? q




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