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高考数学大一轮复*第七章立体几何第七节立体几何中的向量方法教师用书理练*

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欢迎下载 。。。 。。。 。。。 。。。 。。 高考数学大一轮复*第七章立体几何第七节立体几何中的向 量方法教师用书理练* ☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 真题举例 2016,全国卷Ⅰ,18,12 分(面面垂 能用向量方法 解决直线与直线、 直线与*面、*面 与*面的夹角的计 算问题,了解向量 方法在研究立体几 何中的应用。 直、二面角) 2016,全国卷Ⅱ,19,12 分(线面垂 直,二面角) 2016,全国卷Ⅲ,19,12 分(线面* 行、线面角) 2016,天津卷,17,13 分(线面* 行,线面角、二面角) 2016,山东卷,17,12 分(线面* 行、二面角) 1.本节是高考中的必考内 容,涉及用向量法计算空间异 面直线所成角、直线和*面所 成角、二面角; 2.题型以解答题为主,要求有 较强的运算能力,广泛应用函 数与方程的思想,转化与化归 思想。 命题角度 微知识 小题练 自|主|排|查 1.两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线 a,b 的方向向量为 a,b,其夹角为 θ ,则 cosφ =|cosθ |=(其中 φ 为异面直线 a,b 所成的角)。 2.直线和*面所成角的求法 1 / 44 欢迎下载 。。。 。。。 。。。 。。。 。。 如图所示,设直线 l 的方向向量为 e,*面 α 的法向量为 n,直 线 l 与*面 α 所成的角为 φ ,向量 e 与 n 的夹角为 θ ,则有 sinφ = |cosθ |=。 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD 是二面角 α ?l?β 的两个面内与棱 l 垂直的直 线,则二面角的大小 θ =〈,〉。 (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α ?l?β 的两个半*面 α , β 的法向量,则二面角的大小 θ =〈n1,n2〉或 π -〈n1,n2〉。 微点提醒 2 / 44 欢迎下载 。。。 。。。 。。。 。。。 。。 1.一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点 的三条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系;如果 不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线,以其为 两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂直相交 直线为基本出发点。 2.异面直线所成的角与其方向向量的夹角:当异面直线的方向向 量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;否则向量夹角的 补角是异面直线所成的角。 3.二面角与法向量的夹角:利用*面的法向量求二面角的大小时, 当求出两半*面 α ,β 的法向量 n1,n2 时,要根据向量坐标在图形 中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量 n1,n2 的夹角是相等, 还是互补。 小|题|快|练 一 、走进教材 (选修 2-1P117T4 改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC -A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 2,则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的 角为________。 3 / 44 欢迎下载 。。。 。。。 。。。 。。。 。。 【解析】 以 C 为原点建立空间直角坐标系,得下列坐标: A(2,0,0),C1(0,0,2)。点 C1 在侧面 ABB1A1 内的射影为点 C2。 所以=(-2,0,2),=, 设直线 AC1 与*面 ABB1A1 所成的角为 θ ,则 cosθ ===。 又 θ ∈,所以 θ =。 4 / 44 欢迎下载 。。。 。。。 。。。 。。。 。。 【答案】 π 6 二、双基查验 1.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点, 则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为________。 【解析】 如图,以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系。 设 AA1=2A B=2,则 B(1,1,0),E(1,0,1), C(0,1,0),D1(0,0,2),所以=(0,-1,1),=(0,-1,2),所以 cos〈,〉==。 【答案】 3 10 10 2.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥*面 ABCD,如果 AB=PA, 那么*面 ABP 与*面 CDP 所成的二面角的大小为________。 【解析】 建立如图所示空间直角坐标系,设 AB = PA = 1 ,知 5 / 44 欢迎下载 。。。 。。。 。。。 。。。 。。 A(0,0,0) , B(1,0,0) , D(0,1,0) , C(1,1,0) , P(0,0,1) , 由 题 意 , AD⊥*面 ABP,设 E 为 PD 的中点,连接 AE,则 AE⊥PD,又因为 CD⊥ *面 PAD,所以 AE⊥CD,又 PD∩CD=D,所以 AE⊥*面 CDP。所以= (0,1,0),=分别是*面 ABP,*面 CDP 的法向量,且〈,〉=45°, 所以*面 ABP 与*面 CDP 所成的二面角为 45°。 【答案】 45° 第一课时 利用空间向量求空间角 微考点 大课堂 考点一 异面直线所成的角 【典例 1】 (2015·全国卷Ⅰ)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E, F 是*面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥*面 ABCD,DF⊥*面 ABCD,BE= 6 / 44 欢迎下载 。。。 。。。 。。。 。。。 。。 2DF,AE⊥EC。 (1)证明:*面 AEC⊥*面 AFC; (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值。 【解析】 (1)证明:如图,连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG, EF。 在菱形 ABCD 中, 不妨设 GB=1。 由∠ABC=120°,可得 AG=GC=。 由 BE⊥*面 ABCD,AB=BC,可知 AE=EC。 又 AE⊥EC,所以 EG=,且 EG⊥AC。 在 Rt△EBG 中,可得 BE=, 故 DF=。 7 / 44 欢迎下载 。。。



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