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§4.2 相似矩阵与矩阵可对角化条件_图文

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§5.2 相似矩阵与 矩阵可对角化条件
对角矩阵是形式较简单且易于分析处理的 一类矩阵. 如果有某种方法,能在保持一个阶矩 阵某些基本性质不变的条件下,将其化为对角矩 阵,这对矩阵的理论研究和实际应用都有重要意 义.本节将讨论有关矩阵对角化的问题.

一、相似矩阵的概念与性质
定义4 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P满足

P ?1AP = B ,
则称A与B是相似矩阵,简称A与B相似,记为A~ B. 对A进行运算P ?1AP称为对A进行相似变换.称可 逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵.

例 设 A ? ??? 2 1???, B ? ??? 1 1???, P ? ??? 1 ? ? ? ? ?
0 1?? 2 * ? 解 : ? P ? 1, P ? ? ?1 ?
? ? ? ?

? 1 0??

? 1 P AP ? ? ??1 ? ? 2 1?? 2 ?? ? 1 1? ?? ??1 ? ?? ? 3 2 ?? 1 ?? ? 1 1? ?? ??1 ? ??
?1

? 1 ? ? 2 1 ?? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 1 0 ?? ? 1 2 ? ? 1 ?? 1 ? 1? ? ? ? ? ? 0 ?? ? 1 2 ? ?

?1

1? ? 1? ?

? 1??? . 说明A ~ B. ? ? ?1 2 ?? ? ? 2 1? ?1 ?P ? ? ? 1 1? ? ? ?

? 1? ? 1 1? ?B ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? 0 1?

所 以A ~ B.

注:

1. E ~ E
因为对任一可逆矩阵 U,有U ?1 EU ? E , 即E ~ E; 假设有U ?1 AU ? E , 则UU ?1 AUU ?1 ? UEU ?1 , 即A ? E .
易知,与单位矩阵E相似的矩阵只有它自己 .

2. kE ~ kE(k为任意实数 )
? 对任一可逆矩阵U,有U ?1 ?kE?U ? kE,? kE ~ kE; 若有U ?1 AU ? kE, 则UU ?1 AUU ?1 ? UkEU ?1 ? kE, A ? kE.

因此,与kE?k为任意实数?相似的矩阵也只有它自 己.

相似矩阵的性质
性质1 A、B、C均为n阶矩阵,则有
?1 (1)反身性 A ~ A,即A与A本身相似 (? E AE ? A). ( 2)对称性 若A ~ B, 则B ~ A.

(U ?1 AU ? B ? A ? UBU ?1 ? (U ?1 )?1 B(U ?1 ) ? A) ( 3)传递性 若A ~ B, B ~ C , 则A ~ C .
证明 因A ~ B, B ~ C , 所以有可逆矩阵 U1,U 2,
使得B ? U1 AU1,C ? U2 BU 2 , 则有
?1 ?1

C ? U2 BU2 ? U2 U1 AU1 U2 ? ?U1U2 ? A?U1U2 ?,
?1 ?1 ?1 ?1

?

?

即A ~ C .

性质2. 若A ~ B, 则 :

1. A ? B .相似矩阵具有相同的行 列式.
( U AU ? B ? U ? A ? U ? B , U 与U 互为倒数 )
?1 ?1 ?1

2. 相似矩阵具有相同的特 征多项式和特征值 .
证 明 ?E ? B ? ? E ? U ?1 AU ? U ?1 ?? E ?U ? U ?1 AU
? U ?1 ?? E ? A ?U ? U ?1 ? ?E ? A ? U ? ?E ? A

3. trA ? trB, 相似矩阵具有相同的迹 .
由性质2:tr(A) ? tr(B) ? ?1 ? ?2 ? ? ? ?n

4. r ( A) ? r ( B), 相似矩阵具有相同的秩 .
?由B ? U ?1 AU知:U ?1左乘A相当于初等行变换, U右乘A相当于初等列变换 ? 秩不变 .

5. 若A与B相似, 则A与B都可逆,或者都不可逆 , 且可逆时 A?1 ~ B ?1 .
设A ~ B, 则有 A ? B , 所以A 与 B同时为零或者不为零, 因此A与B同时可逆或不可逆 . 若A ~ B,且均可逆,则存在可 逆矩阵U, 使得B ? U ?1 AU , 则有 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? 1 ?1 B ? (U AU ) ? U A U ? U ?1 A ?1U ,
证明

即A?1 ~ B ?1 .

?

?

n f ( x ) ? a ? a x ? ? ? a x . ,其中 6. f ( A) ~ f ( B ) 0 1 n

证明:B ? ( P AP ) ? ( P AP )( P AP )?( P AP ) ? P A P ????? ? ????? ? ?
m ?1 m ?1 ?1 ?1 ?1 m m个

kB ? k ( P AP ) ? P ( kA) P 所以 Am ~ Bm、kA ~ kB 从而
?1 ?1

f ( B ) ? a E ? a B ? ? ? a B ? a E ? a ( P AP ) ? ? ? a ( P AP )
m ?1 ?1 0 1 m 0 1 m

m

? P (a E ) P ? P (a A) P ? ? ? P (a A ) P ? P f ( A) P
?1 ?1 ?1 m ?1 0 1 m



f ( A) ~ f ( B)

注意:
1.性质2(2)的逆命题不一定成立,即A与 B 有相同的特征多项式或所有的特征值都相同, A 与 B 不一定相似.
? 1 0? ? 1 1? 例如, ?、B ? ? ? 它们的特征多项式 A?? ? 0 1? ? 0 1?

都是 (? ? 1) ,但 A 与 B 并不相似,这是因为
2

A为单位矩阵,与 A ? E 相似的矩阵只有其本身.

2.相似矩阵有相同的特征多项式和特征值,但 不一定有相同的特征向量.
? 2 1? ? 1 1? ?、B ? ? ? ,前面已验证 A ~ B . 例如 A ? ? ? ? 1 0? ? 0 1?

易得

A、B 的特征值相同,均为二重根1,但
1

A

? ? 1? 的属于1的全部特征向量 c ? ? 与B 的属于1的 ? 1 ? ? 1? 全部特征向量 c ? ? (其中为任意非零常数)线 ? 0? ? 1? ? ? 1? 性无关,即 c ? ? 与 c ? ? 不同. ? 0? ? 1 ?
2
1

2

定理2. n阶矩阵A相似于对角矩阵?的充必要条件是: A有n个线性无关的特征向量 .
证明 必要性
? ?1 ? ? ? ?2 ? ? ??? ? ? ? ? ? ?n ? ? ?

二、矩阵可对角化的条件

设A ~ ?,其中矩阵 即存在可逆矩阵 U , 使得 U ?1 AU ? ?, 即AU ? U? . 记U的列向量组是 ?1?2 ,?,?n由上式得

A??1? 2 ?? n ? ? ? A?1 A? 2 ? A? n ? 即? 是A的数于特征值 i

? ??1?1?2?2 ??n?n ?

? ?1 ? ? ? ?i的特征向量 . ?2 ? ? ? ?? 1? 2 ?? n ?? 由于U是可逆矩阵,所以 ? ? ? ? ? , ? ,?, ? 线性无关 . ? ? 1 2 n ? n? ?

于是有 A?i ? ?i?i , i ? 1,2,?, n.

注意?1 , ?2 ,?, ?n中, 可能有相同的值 (重根).

U ? ??1? 2 ?? n ? 由于?1? 2 ?? n线性无关,所以 U可逆.
AU ? A??1? 2 ,?,? n ? ? ? A?1 A? 2 ? A? n ?
? ?1 ? ? ? ?? 1 , ? 2 , ? , ? n ?? ? ? ?

充分性 设A有n个线性无关的特征向量 ?1,? 2, ?,? n, 对应特征值依次为 ?1 , ?2 ,?, ?n ,即A?i ? ?i?i , 则以?1,? 2, ?,? n列向量组组成的矩阵记 为U ,
再由A?1 ? ?1?1,A? 2 ? ?2? 2, ?,A? n ? ?n? n ,
即 AU ? U? ?1 于是 U AU ? ?, ? ? 即 A ~ ?. ? ? 注意?1 , ?2 ,?, ?n中, (重根). ? 可能有相同的值 ?

? ??1?1?2?2 ??n?n ?

?2
?

?n ?

如果n阶矩阵 A与对角矩阵相似,则称 A可对角化 .

即A可" 相似 " 对角化.

定理3. 设?1,? 2, ?,? m 为n?? m ?阶矩阵A的 不同特征值? 1,? 2, ?,? m 分别是属于

?1,?2, ?,? m的特征向量,则 ? 1,? 2, ?,? m
线性无关.
即:属于不同特征值的 特征向量线性无关 .

定理4. 设?是矩阵A的特征多项式的 k重根, 则A的属于特征值 ?的线性无关的特征向量 , 个数最多有k个.
即:属于k重特征值的线性无关特 征向量最多有k个.

定理5. 设n?? m ?阶矩阵A, 有m 个不同特征值

?1,?2, ?,?m,设? i 1,? i 2, ?,? is 是A的属
i

于?i的线性无关的特征向量 ( i ? 1,2,? , m ), 则 向量? 11,? 12, ?,? 1 s1 ;? 21,? 22, ?,? 2 s2 ; ?;? m 1,? m 2, ?,? ms m 线性无关.

即:属于每个特征值的 线性无关特征向量 合在一起仍线性无关.

推论1. 如果n阶矩阵A,有n个不同特征值, 则A必可对角化,即与对角 矩阵相似.

(A可对角化的充分条件)
证明 : n个不同特征值,必有n个线性无关特征向量 根据定理2,A与对角矩阵相似.

1,已知矩阵 例7. 由例
? 1 ? A?? 2 ?? 2 ? 2 1 ?2 2 ? ? ? 2 ?的 特 征 值 ?1 ? ?1,?2 ? 1,?3 ? 3. 1 ? 相应的特征向量分别为 ?
1 0? ? 0 ? 1 ? 1? ? ? ? ? 1 1 ?有P ? ? 1 1 1 ? ?1 1 1 ? 1? 0? ? ? ?
?1

T T T ? 1 ? ?1, ? 1, 0 ? , ? 2 ? ?1, ? 1, 1? , ? 3 ? ?0, 1, ? 1? .

1 因 为 三 个 特 征 值 不 ,同 ? ? 令P ? ??1 所 以A可 对 角 化 . ? 0 ?

则P ?0 ? ? ?1 ?3 ?

?1

2 ? 0 ? 1 ? 1 ?? 1 ? ?? AP ? ? 1 1 1 ?? 2 1 ?1 1 ? 0 ? ? ?? ? 2 ? 2 1 1 ?? 1 1 0 ? ??1 ?? ? ? 1 1 ?? ? 1 ? 1 1 ? ? ? 0 ? ? 3 0? 1 ? 1? ?? 0 ? ? 0

2 ?? 1 1 0 ? ?? ? ? 2 ?? ? 1 ? 1 1 ? ? 1 ? 1 ? 1? ?? 0 ? 0 0? ? 1 0 ? ? ?. 其 主 对 角 线 元 素 恰 为特征值 ? 1, 1, 3. 0 3? ?

2,已知矩阵 例8. 由例
? 1 ?1 1 ? ? ? A?? 2 4 ? 2 ?的 特 征 值 ?1 ? 6,?2 ? 2?二 重? ?? 3 ? 3 5 ? ? ? 相应的特征向量分别为
T T T ? 1 ? ?1, ? 2, 3 ? , ? 2 ? ?1, ? 1, 0 ? , ? 3 ? ?1, 0, 1? .

由 于A的 全 部 线 性 无 关 的 特 向 征量 的 个 数 为 3,

?6 1 1? ? 1 ? ? ? ?1 令 P ? ? ? 2 ? 1 0 ? 则 P AP ? ? 0 ?0 ? 3 ? 0 1 ? ? ?
其主对角线元素为特征 值6, 6, 2.

所 以A可 对 角 化 .

0 0? ? 2 0 ?. 0 2? ?

例9 由例3矩阵 特征值为

?2 ?1 1 ? ? ? A ? ? 0 3 ? 1? ?2 1 ? 3 ? ?

?1 ? 4, ?2 ? ?3 ? 2 (二重).

对于 ?1 ? 4, 特征向量为 ?1 ? ?1,?1,1? T ,

对于 ?2 ? 2

特征向量为 ? 2 ? ?? 1,1,1? T ,

只有2个线性无关的特征向量,故 A 不能 对角化.

0 2? ? 1 ? ? 例10 求a的值,使 A ? ? 0 1 4 ? 可对角化. ? a ? 5 ? a ? 2 2a ? ? ? ? ?1 0 ?2 解: ?E ? A ? 0 ? ? 1 ? 4 ? (? ? 1)( ? ? 2)[? ? ( 2a ? 1)] ? a ? 5 a ? 2 ? ? 2a 3 (1)当2a ? 1 ? 1且2a ? 1 ? 2, 即a ? 1且a ? 时,A有三个 2 不同的特征值,故 A可对角化. (2)当2a ? 1 ? 1, 即a ? 1时,A有特征值? ? 1为重根.而且

? ? 1的特征向量只有一个, 故A不可对角化. 3 (3)当2a ? 1 ? 2, 即a ? 时,A有特征值? ? 2为重根.而且
2 ? ? 2的特征向量只有一个, 故A不可对角化.

? 1 1 0? ? ? 例11 已知矩阵 A ? ? 0 2 1 ? ,求 A100 . ? 0 0 3? ? ? 解:A的特征值为 ?1 ? 1, ?2 ? 2, ?3 ? 3, 对应的特征向量分别为

?1 ? (1,0,0)T , ? 2 ? (1,1,0)T , ? 3 ? (1,2,2)T .可知A可对角化,即
P -1 AP ? ? , 其中 1? ? ?1 -1 ? ? 1 1 1? ? 1 0 0? ? ? ? ? ? P -1 ? ? 0 1 -2 1? ? P ? ? 0 1 2? ? ? ? 0 2 0? ?0 0 1 ? ? 0 0 2? ? 0 0 3? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 100 -1 -1 -1 100 -1 100 由于P AP ? ? , 则A ? P?P ,因此A ? ( P?P ) ? P? P
? 1 1 1 ?? 1 0 ? ?? 100 A ? ? 0 1 2 ?? 0 2100 ? 0 0 2 ?? 0 0 ? ??

1 100 3100 ? 1? ? ? 100 ? -2 ? ? ?1 2 -1 0 ?? 1 - 1 2 2 ? 2? ? ?? 0 ?? 0 1 - 1 ? ? ? 0 2100 3100 - 2100 ? ? 100 ?0 0 1 ? ?0 3100 ? 0 3 ?? ? ? 2? ? ? ? ?

作 业: *题四-9、11、17、20




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